Secara umum, konvergensi pointwise tidak menyiratkan konvergensi dalam ukuran. Namun, untuk ruang ukuran berhingga, ini benar, dan faktanya kita akan melihat di bagian ini bahwa lebih banyak lagi yang benar.
Apakah konvergensi hampir di semua tempat menyiratkan konvergensi dalam ukuran?
Ruang ukuran yang dimaksud selalu terbatas karena ukuran probabilitas menetapkan probabilitas 1 ke seluruh ruang. Dalam ruang ukuran yang terbatas, hampir di mana-mana konvergensi menyiratkan konvergensi dalam ukuran. Oleh karena itu hampir konvergensi menyiratkan konvergensi dalam probabilitas.
Apakah konvergensi pointwise menyiratkan kontinuitas?
Meskipun setiap fn kontinu pada [0, 1], batas titiknya f tidak (tidak kontinu pada 1). Jadi, konvergensi pointwise secara umum tidak mempertahankan kontinuitas.
Apakah konvergensi di L1 menyiratkan konvergensi pointwise?
Jadi konvergensi pointwise, konvergensi seragam, dan konvergensi L1 tidak saling menyiratkan. Namun, kami memiliki beberapa hasil positif: Teorema 7 Jika fn → f di L1, maka ada barisan fnk sedemikian rupa sehingga fnk → f pointwise a.e.
Apa yang dimaksud dengan konvergensi dalam teori ukuran?
Dalam matematika, lebih khusus lagi teori ukuran, ada berbagai pengertian tentang konvergensi ukuran. Untuk pengertian umum yang intuitif tentang apa yang dimaksud dengan konvergensi dalam ukuran, pertimbangkan urutan pengukuran di ruang, berbagi koleksi umumset terukur.
